402cc永利手机版:[英]T•威尔iam姆森:二拾一世纪的逻辑与理学

混合逻辑是内部化了的可能世界语义学的模态逻辑,而核证逻辑内部化了证明方法论。一个自然而然的问题是:是否具有核证逻辑形式的混合逻辑。也就是说,把“可能世界的名字”引入核证逻辑,在一个逻辑中既内部化语义学又内部化证明,把这两种思想组合到一个系统当中。这个方向开始于世界著名逻辑学家费汀在2010年的工作。我们的研究在其基础上构造了混合逻辑形式的核证逻辑系统,把语义学内部化和证明内部化统一在一个形式系统内,建立起混合核证逻辑的极小系统,提出适当的语义解释并给出完全性定理和实现定理的证明,从而解决了费汀提出来的未解决问题——混合核证逻辑的极小系统问题。

尽管如此,如果逻辑变得不再具有哲学性,这并不意味着哲学就不再具有逻辑性。没有证据能够说,哲学家们平均运用逻辑方法或形式方法比过去少了。形式认识论上的新近发展显示出相反情况。更为一般地讲,通过形式化来检验论证乃是当代哲学中的标准做法。当然,这种方法不能盲目适用——它们具有限度,必须谨慎和明智地加以运用。但什么科学方法不是同样如此呢?

1 模态逻辑

关于获得更具表达力的语言,直接的字面意思就是说在扩张后的语言所表述的逻辑中将会有更多的有效式,但更为重要的是,混合语言可以定义许多在标准模态语言中不能表达的框架性质。表达能力的提高有利于更为直接、更为完备的框架可定义性理论的建立。混合逻辑中获得的一般完全性理论也将比标准模态逻辑中相应的结果更为简单。模态逻辑的标准证明方法的应用比较复杂是因为很难处理模态算子辖域内的句子。在混合逻辑中,一些自然的工具如名字和满足算子可以处理这一问题。混合逻辑中的每一个模态化句子都可以分裂成几个部分,其中一些部分载有一个模型的结构信息,而一个部分直接为我们给出原先处于模态算子辖域内的句子。把复杂信息分解成较为简单部分的这一自然方式,容易使经典逻辑的非公理化方法移植到模态逻辑。因此,混合逻辑更为丰富的语言为模态证明论提供了更为一般且统一的句法背景。

有关涉及经典一阶非模态逻辑本身的例子,我们来看关于绝对无限一般性的逻辑,其中的一阶量词被强制解释为涵盖所有一切。鉴于集合论中的罗素悖论和布拉里-福蒂悖论,对这样的量化理论的合理性和融贯性有着激烈争议,但我在别处已对其作了捍卫。可以证明,对于标准一阶语言来说,一论证根据所有这样的无限制解释是保真的,当且仅当它在每一带有固定大小的无穷域的标准集合论模型中是保真的。因此,我们只要增加关于“至少有n个东西”的通常形式化作为新公理,便可给出一种可靠且完全的公理化。类似策梅罗-弗兰克尔集论这样的标准集合论有一个定理是说,并不存在大全集,因此任何固定大小的模型都不能对量词给出无限制的预期解释;然而,要根据无限制的量词解释对有效性给出外延上正确的刻画,并不需要更大的模型。

关键词:模态逻辑/本质主义/抽象实体/哲学/model
logic/philosophy/necessity/probability/essentialism/abstract entity

模态逻辑的标准证明论的应用范围是非常有限的。普通证明方法应用到标准模态逻辑时的问题主要与下述事实有关:很难处理模态算子辖域内的信息。对于许许多多的模态逻辑来讲,存在着大量的非公理化的证明系统,但是在大量情况下,这些逻辑提供的都是对它们的形式化中所出现的问题的人为解决。一些所谓自然的系统只是某些特殊的逻辑的形式系统,难以进行一般化推广。因此,在标准模态逻辑中,与可能世界模型所成功提供的语义工作相比,句法方面并没有一种统一的架构可言。

第一析取项是绝对真的,当且仅当p的真之级度至多为0.5;第二析取项是绝对真的,当且仅当p的真之级度至少为0.5;如果p是一种临界情形,对其提出的考虑意见是有些支持p有些反对p,则情况似乎是:不仅p的真之级度至多为0.5不是绝对真的,而且p的真之级度至少为0.5也不是绝对真的。有些考虑意见倾向于小于0.5的#
#真之级度,另有些考虑倾向于大于0.5的#
#真之级度,而它们之间如何相互平衡却仍全然不清楚。这样一来,连续统值逻辑的经典元理论若要想对模糊性进行原则性处理,就确证了级度论者必定加以拒斥的公式。

内容提要:模态逻辑是关于必然性与可能性的逻辑,因此也就涉及到必然与可能相关的一些哲学问题。除语义学方面的问题外,模态逻辑自身也存在与哲学相关的问题,如本质主义问题、抽象实体的存在性问题等。模态逻辑也引发一些哲学问题,如可能世界的本体论问题,可能个体的跨界同一和识别问题等。模态逻辑的研究成果对当代哲学的发展也具有重要的意义。当代马克思主义哲学的研究也应该结合与考察现代逻辑的研究成果。

值得一提的是,在很多情况下,我们不必为语言表达能力的提高而付出代价。逻辑的一个非常重要的特征是它们的可判定性及判定程序的复杂性。那些可判定的模态逻辑经过混合化之后仍然是可判定的,而且通常的情况是复杂性也并没有被触动。

类似的现象出现在二阶逻辑上。其标准模型论是由一阶元语言加上集合论给出的:二阶变元涵盖一阶变元域的所有子集。像斯图尔特·夏皮罗(Stewart
Shapiro)这样的二阶逻辑主要倡导者,以英语这一非形式元语言所运用的一阶量化涵盖属性、集合、关系或函数,其所属的语法范畴与我们在说“一阶变元涵盖定义域内诸个体”时所运用的完全相同。但二阶量化是在谓词位置上的量化,这与一阶量化在名称位置上的量化相对。夏皮罗为其所支持的二阶对象语言所提出的元语言是一阶的。

Model Logic is about the one of necessity and probability,and it would
be involved some philosophic problems.Besidesome problems of
semantics,model logic itself also includessome philosophic problems,such
as essentialism, abstractentity and so on.

可能世界语义学

在最早发表于1991年的一篇讲演“二十世纪的逻辑与哲学”①中,乔治·亨利·冯赖特称“逻辑学一直是我们时代哲学的显著标识”。不过,他断言:“在新时期哲学发展的整个图景中,逻辑学不可能再继续扮演它在二十世纪所保有的那种重要角色。”②

可能世界语义学给模态逻辑提供了严格的语义对象和研究工具,为分析各类必然性提供了有力的技术手段,使得必然性这种几乎无从下手分析的性质得到严格的刻画,分清了不同的必然性的强弱层次。今天可能世界语义学已在逻辑学中占有非常重要的地位。各种哲学逻辑几乎都用到这一语义学。经典逻辑的语义也可以被看作该语义学的特例。

可能世界语义学是模态逻辑最流行的语义学,也是最具哲学意义的语义学,在模态逻辑的对象语言中引入“可能世界的名字”作为一类原子命题,非但没有破坏模态逻辑的基础,反而提高了它的表达能力,具有深刻的理论意义和哲学意义。

Model Logic and Philosophy Beijing University of Aeronautics and
Astronautics,

一个自然而然的问题就是如何使得句法和语义相互一致起来。一种可能性就是在语言中为模型中的可能世界引入明显的句法表示。这样一种扩张可以为表达力提供足够的灵活性,不过也引发一个伴生的问题:以何种方式实现这一工作。至少可以有两种方向:外部方向和内部方向。外部方向是为逻辑语言引入新的元理论工具,模态逻辑中最流行的解决办法是为公式添加前缀。内部方向则是添加对象语言以及新的算子,对象语言的丰富通过对原子进行分类表达到。这就是混合逻辑所做的工作——在句法中为可能世界引进“名字”。

诚然,相对于一阶直觉主义逻辑的其他模型概念来说,其可靠性和完全性可通过同时用于经典意义上和直觉主义意义上的推理得到证实。但可疑的是,它们之间相对应犹如前述意义上的解释相应于思想型直觉主义关于对象语言表达式意义的本来意图。实际上,根据直觉主义逻辑在旧语义学上的不完全性,通过表明自身并不适于原有的预期意义,有些甚至可以解释新语义学上的完全性定理,因为如果在所有新模型中为真要求直觉主义的可证性,而根据所有直觉主义解释为真却并不要求,因而便可断定:根据所有直觉主义解释为真并不要求在所有新模型中为真。

Beijing 100083 Dept.Philosophy,Beijing University,Beijing 100871

混合核证逻辑极小系统的建立对于混合核证逻辑这一族逻辑的研究具有重要意义,极小系统的发现意味着这一族逻辑中“最普遍真理”的发现。从哲学上来说,由一个名字命名的可能世界是一类“事实”,在维特根斯坦看来,“逻辑空间中的诸事实即是世界”,构成一个世界的诸事实必须要能被验证确实是构成了一个世界,这是建立并研究“混合的核证逻辑”的部分哲学意义。

这里的情况是复杂的,因为直觉主义逻辑有多种并不等价的语义类型。然而,对于自然意义上的一阶直觉主义逻辑“解释”,至少有点类似于塔斯基模型论概念上的一阶经典逻辑解释,有着这样的情形。我们来看标准一阶语言。一公式为“直觉主义有效”,当且仅当它根据所指意义上的每一直觉主义解释下都为真。一公式为“直觉主义可证”,当且仅当它在该语言的标准直觉主义自然演绎系统中可证。可靠性是不成问题的:根据同时在经典意义上和直觉主义意义上可用的元理论推理,我们可证实每一直觉主义上可证的公式都是直觉主义有效的。完全性的问题正好颠倒过来。根据可用于经典意义上却不可用于直觉主义意义上的元理论推理,我们可证实每一直觉主义有效的公式都是直觉主义可证的。此外,我们根据可同时用于经典意义上和直觉主义意义上的元理论推理,可以证实:如果每一直觉主义有效的公式都是直觉主义可证的,则由此可得出一特定结论,这一结论在经典意义上有效却在直觉主义意义上极其不可信。因而,从直觉主义元理论的观点来看,有关一阶直觉主义逻辑的完全性定理看上去是错的,即便它在经典元理论中是可证的。

模态逻辑有多种语义学,其中主要的是可能世界语义学。可能世界语义学的基本出发点来自于莱布尼茨关于必然性和可能世界的思想:一个命题是必然的,当且仅当,它不仅在现实世界中真,而且在所有可能世界中都真。可能世界语义学建立于50年代中至60年代初期,由几位创立者几乎同时提出。其中克里普克最为明确地指出他的语义学来自于莱布尼茨的思想,并且用他的语义学证明了一系列模态系统的完全性,所以影响最大。

模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑,或者说,是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。必然性和可能性也可做其他解释:真势模态逻辑把必然解释为必然真;道义逻辑则把必然解释为道义必然性或规范必然性。必然也可以指“知道为真”或“相信为真”,这是认知逻辑的解释;如果指“总是为真”或“从此总是为真”,则是时态逻辑的解释。还可以把“必然p”解释为“p是可证的”。作为必然性和可能性的逻辑,模态逻辑不仅考虑事物实际存在方式的真和假,而且考虑“如果事物处在与实际存在方式不同的存在方式中,那么什么将是真的或假的”。如果一个人考虑到了事物在真实世界中的存在方式,那他或许也会考虑事物在可替代的、非真实即可能的世界中是如何地不同于真实世界中的存在方式。逻辑关注真和假,模态逻辑则关注真实世界和其他可能世界中的真和假。在这个意义上,一个命题在一个世界中是必然的仅当它在可能替代该世界的所有世界中为真,它是可能的则仅当它在可能替换该世界的某个可能世界中为真。

这些结果似乎表明,我们可在元语言中避开这类有争议的量化理论。但这过于匆忙了。理由并不仅仅是,为了在对象语言中证明无限制量化逻辑的可靠性和完全性定理,我们必须在一开始运用到元语言中的无限制量化。如哈维·弗里德曼(Harvey
Friedman)所表明的,对无限制量化的完全性证明必然用到这样的假定,即对于绝对的一切(absolutely
everything)都有一种线性的排序。这是全选择公理的一个比较弱且尚存争议的推论。如果对于一切不存在线性排序,则那个实际断言R并不表示对于一切的线性排序的一阶公式将根据所有无限制解释为真:

模态指的是事物和命题的必然性和可能性等这类性质。模态逻辑简单地说就是关于必然性与可能性的逻辑。因为涉及到必然性与可能性这样一些哲学概念,模态逻辑又称为哲学逻辑,是哲学逻辑中最先发展起来的一个重要分支。

(作者系中国社会科学院研究员,专著《可能世界的名字》入选《国家哲学社会科学成果文库》)

⑩See Stewart Shapiro, Foundations without Foundationalism: A Case for
Second-Order Logic(Oxford: Clarendon Press, 1991).

模态逻辑分为传统模态逻辑和现代模态逻辑。传统模态逻辑产生于古希腊。现代模态逻辑是在数理逻辑的推动下产生和发展起来的。本世纪初,罗素建立了经典逻辑。因为对经典逻辑中的实质蕴涵不满,认为没有刻画出日常推理关系,美国逻辑学家和哲学家C.I.刘易斯(C.I.Lewis)提出了严格蕴涵,并以此为出发点建造了5个逻辑系统S1,S2,…,S5,这就是最初的5个模态逻辑系统。所谓“p严格蕴涵q”即p可以逻辑地推出q,或“p实质蕴涵q”具有逻辑的必然性。这样,就把必然性等这类概念引入了逻辑,建立了一个新的现代逻辑分支。现在模态逻辑中有着无穷多的系统。每一个系统都是对一种必然性的刻画。

以此为基础来考虑模态逻辑有效性的可能世界语义学始于20世纪50年代晚期和60年代早期。可能世界是可能世界语义学的核心概念,模态逻辑历史中最主要的突破性进展是可能世界语义学的提出,由于简单、自然以及起源于哲学等特点,可能世界语义学一直是模态逻辑模型论研究的基本工具。

因为在任一给定模型中,要么v,此时v=1;要么v,此时v=1。两种情况下,都是v=1。级度论者在模糊语言中拒斥排中律p∨p的最初动机是,在临界的情形下,两析取项似乎都不是绝对真,而只在某中间级度上为真,这意味着,根据级度论者的概念,该析取命题并非绝对真,因为既然析取命题的真之级度是其析取项真之级度的最大值,析取命题的绝对真就要求至少有一析取项为绝对真。现假定p、q为不相联的临界情形,二者同时显示高阶模糊性。譬如,p可解释为“她是孩子”,而q解释为“这是谷堆”。正如我们可能完全不清楚是否她是孩子或这是谷堆一样,我们同样可能完全不清楚如何根据这是谷堆的级度来对她是孩子的级度作出定位,对于相应的真之级度来说,同样也如此。根据级度论者的术语,#的两析取项似乎不是绝对真,而仅仅在某中间级度上为真,这意味着#并非绝对真。因而,最初对于排中律的异议可推广至#,即使连续统值语义学通过经典推理蕴涵:#是有效的,是逻辑真理。#的问题还是会产生,我们来考察q为p的特别情形:

可能世界语义学与旧有的句法传统之间的对应并不完美,局部视角与标准模态语言的全局视角两者之间的不对称正是问题的来源。也就是说,在可能世界语义学中具有根本地位的可能世界并没有在模态句法中表现出来。这种不对称情形导致了许多并非我们需要的结果,比如,缺乏对许多语义特征的充分表示,缺乏合适的模态证明论。前者比较容易解释,因为标准模态语言没有一套机制来命名一个模型中的特殊“可能世界”、断定或否定可能世界的相等、表达从一个可能世界到另一个可能世界的可达性等。这些都属于模态模型论的核心问题,但在标准句法中表示不出来。可能世界语义学中框架的许多重要性质都以一种非常间接的方式被表达出来,而其他许多重要性质则干脆在标准模态语言中无法被表达。

v

可能世界的名字

虽然卡普兰和艾克曼迪他们本人都认为逻辑学概念不要作“思想意识上”或“实质性”的主张,但他们二人都没有提出一种非循环的标准来识别这样的主张。在卡普兰说逻辑学家的努力不要约束思想意识时有一个脚注,他增加了“当然,除有效论证之外”这样的限定。他必定意识到了,这使得他所说的话变成了这样的命题,即逻辑学家的努力不能约束思想意识,除非是通过逻辑学,他这样说并没有过多告诉我们有关逻辑学的界限。同样地,艾克曼迪在设定“非实质性真理”只不过是“逻辑真理”的模糊释义时,意味着,“逻辑真理是非实质性真理”仅仅是“逻辑真理是逻辑真理”的模糊释义,因此并没有告诉我们任何有用信息。然而,卡普兰和艾克曼迪是在论证有关逻辑学界限的极不寻常的结论时作出上述评论的。卡普兰是要论证内涵性语言中的一特定公式不应该视为逻辑真理,尽管其在可能世界语义学中有效。艾克曼迪是要驳斥塔斯基关于逻辑后承的模型论概念,而且与卡普兰一样,他自认一看到就能辨认出实质性主张:譬如,他确信类似xy这样的存在句也是实质性的而非逻辑真理。再有,二阶逻辑中有两个公式CH和NCH:CH是一模型论逻辑真理,当且仅当康托连续统假设成立,而NCH是一模型论逻辑真理当且仅当此连续统假设不成立。这样,在经典意义上,或者CH是模型论逻辑真理或者NCH是,但我们不知道哪一个是,因为我们不知道连续统假设是否成立。艾克曼迪因此认为CH和NCH二者都是实质性的,不能作为逻辑真理,在此基础上他进而反对模型论概念上的逻辑真理。

核证逻辑开始于20世纪90年代的“证明逻辑”,后者是为直觉主义逻辑提供算术语义的一个部分。根据哥德尔的一个推理结果,直觉主义逻辑嵌入到S4,由于哥德尔不完全性定理,S4的必然性算子不能作为算术中的形式可证性;但根据哥德尔1938年的一个推理想法,S4的必然性可以看作“显式”可证性谓词。这一思想在20世纪90年代被阿逖莫夫独立发现,成为建立证明逻辑系统的动机,模态算子被一族显式“证明项”所替换。阿逖莫夫证明的“算术完全性定理”表明,S4可嵌入到证明逻辑,而证明逻辑可嵌入到形式算术。所有这些一起为直觉主义逻辑提供了一个算术语义学。“核证逻辑”是把证明方法论内部化的模态逻辑新分支。

v=最大值{v}

构造核证逻辑系统

该例子的另一特征是,为了在元语言中对所有对象语言的无限制解释进行适当的概括,我们需要一种二阶元语言。因为若要运用一阶元语言,所有为非逻辑原子谓词可得到的语义值也将用作一阶变元的值,由此产生了一种版本的罗素悖论,除非对于非逻辑原子谓词的解释以某种非预期的方式受到限制。该问题可在二阶元语言中避免,其中相关的一般性可通过二阶量化实现,不是对于原子谓词语义值的一阶量化,而是二阶量化。原子谓词不被指派语义值。甚至“解释”一词也必须换成一种适当的高阶术语。任何在一阶元元语言中给出二阶元语言语义学的尝试都会重新引入罗素悖论。在类似情形中,从对象语言到元语言的语义上升趋向于更具争议性。

混合逻辑是模态逻辑的一个崭新分支,不过起源可以追溯到20世纪50年代,只是重要性直到20世纪90年代才被认识到。混合逻辑的两个根本思想是:满足关系的内部化(此时的满足关系是相对而言的)、把命题划分为普通命题和名字。

J. Etchemendy, The Concept of Logical Consequence(Chicago: The
University of Chicago Press, 1999), p. 143.

添加了这些内容之后,我们可以获得怎样的结果?尤其是,这样一来确实就比标准模态语言优越吗?这个问题在原子分类方面尤其有意思:众所周知,对一阶语言的变元进行划分并不会获得更多的表达能力,只是比标准单种类语言表述得稍微紧致、简单一点。但是,在模态语言中对变元进行分类将会真正改变表达能力从而获得更多的改进。因此,混合的模态语言主要是修复关系结构的元素与语言能力之间不对称性的一种工具。简而言之,混合语言的引入将有下述用处:获得更具表达力的语言;完全性理论中更好的表现;更自然、更简单的证明理论;可判定性、复杂性、内插性以及其他重要性质中的良好行为。

冯赖特承认,“我们可以确信,逻辑学中也将永远地存在暗角,从而它必定永远有某个地方能受到哲学家的关注”。⑥但是,对于逻辑学在哲学上的无争议性所存在的挑战,现在远比冯赖特所设想的更具系统性。

对于大卫·刘易斯(David
Lewis)这样的所谓模态实在论者来说,凡模态者实际上都可化归为非模态者:在非模态语言中对于世界的量化,比起运用模态算子,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。现实世界只不过是众多世界中的一个,好比此处只不过是众多位置中的一个,它仅从其自身角度来看才具有特权。但是,大多数采用模态语言的哲学家都反对模态实在论,认为它完全不合情理;他们坚持认为,这一现实世界在客观上拥有一种特殊的形而上学地位。因此,就这一方面来说,运用模态算子,比起在非模态语言中对于世界的量化,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。根据这样的观点,形式模型论仍然起着辅助作用,它有助于证明:特殊的模态结论不可能由特殊的模态前提得来。此外,若考虑模态因素,我们可以指出,对于原子公式的任一给定的命题指派,总有一个模型,其中真公式与在该指派下根据联结词的预期解释为真的公式完全相符。由此可得出,对于某模型类,在该类中有效的公式与在对原子公式的每一命题指派下根据联结词的预期解释有效的公式完全相符。一旦合适的类得以确定(这还要求考虑模态因素),它就可用于对模态推理的检验。但这些应用并非形式模型论本身所固有,而且对于它的使用是纯粹工具主义的视角。

xyz(Rxx &(x≠y→&((Rxy &
Ryz)→Rxz))当然,NLO在某些固定大小的无穷模型中是假的,譬如在定义域是自然数集并且R为对于它们的通常排序时。这样,哪些公式根据量词的无限制解释为有效就易于受到有关所存在之一切的结构上的小细节影响。上升到元语言也不能摆脱这样的争论。

有一种默示的蒯因主义似乎是在做元层次工作。任何对于经典一阶非模态逻辑的背离都被许可,因为它可在经典一阶非模态逻辑中给出一种模型论。其格言是:你尽可以在对象语言中背离传统,只要你在元语言中严守正统。这一态度甚至可以给人一种印象:逻辑上的差异仅仅是记法上的,或者至少是有点表面化的,因为我们在元语言中全都意见一致。既然当代数理逻辑大都是元逻辑,难怪它采用了约定性的、科学的方法。

Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, p. 111.

只需采用如前一样与特定指派相联的模型类的并集。

蒯因的立场现在看来过于局限了。在数学上,他所否定具有逻辑地位的特定系统均为定义明确的结构,都可以通常的方式进行研究。在哲学上,将它们排除在外似乎是独断的,是无谓的争论。经典逻辑的某些扩充系统尤其是模态逻辑习惯上都被用作哲学讨论的逻辑背景。⑨现在有许多数学哲学家都深信,数学理论上适当的逻辑背景都是二阶的而非一阶的。最显著地,二阶算术充分表现了自然数结构,因为它的所有模型都彼此同构;然而,一阶算术及其任何一致的形式扩充却不具有我们想要的那种模型——它们所包含的成分通过有穷多次应用开始于零的后继运算却难以达到。⑩此外,有人做出专门论证来反对经典逻辑,支持某种非经典逻辑(多值逻辑、弗协调逻辑、直觉主义逻辑等等),以便对于说谎者悖论、谷堆悖论、有关无穷或未来的形而上学问题等等,给予令人满意的哲学解说。即使有谁反对这样的论证,他也不能根据找不到经典逻辑的一种真正替代系统就简单地拒斥它们。任何有效的回应必须涉及所讨论的提议的细节。

v(A & B)=最小值{v}

⑦See Matti Eklund, "On How Logic Became First-Order", Nordic Journal of
Philosophical Logic 1, pp. 147—167, and reference therein.

克里普克指出了如何在可能世界语义学中对BF的反例构建模型。集合W中的每一元素w都关系到一个集合D,即w的定义域;一阶量化公式在w的值限于D。这样,xA在w为真,当且仅当,对于D的某元素o,A在w为真,o的值指派给变元x(所有别的变元值保持固定)。不同的元素w会有不同的定义域。非形式地看,w的定义域可视为存在于世界w的事物集合,但这在可能世界语义学中不起作用。为了构建在A为原子公式Fx时的反模型,我们需要构建在W的特指元素@上前件为真后件为假的一个模型。简单一点,我们来看这样一个模型,其中W所有的元素对属于关系R,这使得模态系统S5有效;非形式地看,每一世界都是相对于每一世界可能的,必然性和可能性并非本身为偶然之物。为证实BF的前件,可设定原子谓词F在世界w的外延包括对象o∈D。为否证BF的后件,可设定:o*∈D全都不在F在任一世界的外延中,由此可得,oD。通过形式化,这些条件可轻易地进行组合。譬如,令W={0,1},@=0,w=1,D={2},D={2,3};令F在0的外延为{},F在1的外延为{3}。那么,◇xFx在@为真,因为xFx在1为真;x◇Fx在@为假,因为◇Fx在@为假,x赋值为2即D的唯一元素。至此,模型论似乎与那些哲学家的直观完全相符。

考虑到模态因素,有人指出:在该指派下根据联结词的预期解释为真的公式构成了极弱正规模态逻辑K中的一个极大相容集。譬如,在K的典范模型(在其中不指定任何点为“现实世界”的模型的意义上)中有一点,在此所有而且仅有那些公式为真(参看G.
E. Hughes and M. J. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic,
London: Routledge, 1996, pp. 112—120)。这个点可当作典范模型的现实世界。

底层次上多样性的语言和逻辑,与元层次上同一性的语言和逻辑,二者的这种组合到底有多么稳定呢?我们可以把经典一阶非模态元逻辑应用到不同于标准的经典一阶非模态逻辑的某种对象语言,来看看其牵强效果。

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